第 3 章 期望均值方差
期望（或均值）是用来描述一组数据中心位置的指标（另一个是中位数 Median）。 对于离散型随机变量 \(X\) (discrete random variables)，它的期望被定义为：
\[E(X)=\sum_x xP(X=x)\]
所以就是将所有 \(X\) 可能取到的值乘以相应的概率后求和。这个期望（或均值）常常用希腊字母 \(\mu\) 来标记。
方差 Variance 是衡量一组数据变化幅度(dispersion/variability)的指标之一。方差的定义是：
\[Var(X)=E((X-\mu)^2)\\\text{Where, }\mu=E(x)\]
实际上我们更加常用的是它的另外一个公式：
\[Var(X)=E(X^2)-E(X)^2\]
证明上面两个方差公式相等：
\[ \begin{align} Var(x) &= E((X-\mu)^2) \\ &= E(X^2-2X\mu+\mu^2)\\ &= E(X^2) - 2\mu E(X) + \mu^2\\ &= E(X^2) - 2\mu^2 + \mu^2 \\ &= E(X^2) - \mu^2 \\ &= E(X^2) - E(X)^2 \end{align} \]