第 2 章 贝叶斯理论的概念

许多时候，我们需要将概率中的条件相互对调。 例如： 在已知该人群中有20%的人有吸烟习惯(\(P(S)\))，吸烟的人有9%的概率有哮喘(\(P(A|S)\))，不吸烟的人有7%的概率有哮喘(\(P(A|\bar{S})\))的前提下，有个人前来门诊，发现是哮喘患者，那么这个人有多大的概率是一个烟民？也就是要求 \(P(S|A)\)

这里先引入贝叶斯的概念：

我们可以将 \(P(A\cap S)\) 写成： \[P(A\cap S)=P(A|S)P(S)\\or\\ P(A\cap S)=P(S|A)P(A)\] 这两个等式是完全等价的。我们将他们连起来：

\[P(S|A)P(A)=P(A|S)P(S)\\ \Rightarrow P(S|A)=\frac{P(A|S)P(S)}{P(A)}\]

是不是看起来又像是写了一堆废话？

没错，你看出来是一堆废话的时候，证明你也同意这背后的简单逻辑。

再继续，我们可以利用另外一个废话：

\[ \because S+\bar{S}=1\\ \therefore P(A)=P(A\cap S)+P(A\cap\bar{S}) \]

用上面的公式替换掉

\[ P(A\cap S)+P(A\cap\bar{S}） \\ \therefore P(A)=P(A|S)P(S)+P(A|\bar{S})P(\bar{S}) \]

可以得到贝叶斯理论公式：

\[ P(S|A)=\frac{P(A|S)P(S)}{P(A|S)P(S)+P(A|\bar{S})P(\bar{S})} \]