第 5 章 二项分布的应用的运用

二项分布：\(n\)次独立试验中，每次试验某时间出现的概率为\(p\)，某件事不出现的概率为\(q\)(等于\(1-p\))，则对于某件事出现\(X\)次的概率分布为： \[b(x, n, p)=\mathrm{C}_{n}^{x} p^{x} q^{n-x}= \frac{n !}{x !(n-x) !}\] 若\(X\)是服从二项分布的随机变量，则\(E(X)=np,D(X)=np(1-p)\) 二项分布满足 \(p < q,np \geqslant 5\)或\(p>q,nq \geqslant 5\)时，二项分布接近正态分布。

二项分布在教育研究中，主要用于解决含有机遇性质的问题。

5.1 判断题是否是猜测作答

有10道判断题，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对几题才能认为不是出于猜测因素？

猜错与猜对的概率 \(p=q=0.5,np =5\)，此二项接近正态分布。 $ =n p=10 =5 \ ===1.58 $

由正态分布概率，当Z=4.645时，该店一下包含全体的95% 用原始分数表示\(\mu+1.645 \sigma=5+1.645 \times 1.58=7.6=8\)，即10道题中猜对8道题以下的可能性为95%，猜对8-10道题的概率只有5%。因此可以推论说答对8道题以上者不是凭猜测（但做此结论，仍然有5%的可能会犯错。）

此问题可以直接用R语言中binom()二项分布函数计算。 pbinom(q, size, prob) qbinom(p, size, prob)

# qbinom(p, size, prob)
qbinom(0.95,10,0.5) 

## [1] 8

5.2 选择题是否是猜测作答

有10道单项选择题，每题4个选项，问答题者答对几题才能认为他是真会，或者说答对几题才能认为不是出于猜测因素？

此题中 \(n=10, p=0.25,q =0.75, np<5\)，此题不接近正态分布，因直接用二项分布函数计算。

qbinom(0.95,10,0.25)

## [1] 5

5.3 猜对题数与概率

p <-  0.25
n <- c(10,15,30,40,60)
n_p <- qbinom(0.95,n,p)
n_q <- pbinom(n_p -1,n,p,lower.tail = F)

题目总数(单选4选1)	猜对题数	大于猜对题数概率
10	5	7.8%
15	7	5.7%
30	12	5.1%
40	15	5.4%
60	21	5.4%

p <-  0.5
n <- c(10,15,30,40,60)
n_p <- qbinom(0.97,n,p)
n_q <- pbinom(n_p -1,n,p,lower.tail = F)

题目总数(判断对错)	猜对题数	大于猜对题数概率
10	8	5.5%
15	11	6.0%
30	20	5.0%
40	26	4.0%
60	37	4.6%